Der Zusammenhang zwischen Option und Basiswert

Wer gestern den Optionsschein-Strangle auf den DAX mit gemacht hat, dem sind wahrscheinlich die deutlichen Unterschiede im Pricing der jeweiligen Optionsscheine aufgefallen. Obwohl die Scheine vom gleichen Emittenten emittiert wurden und nahezu die gleichen Parameter (abgesehen vom Basispreis) besaßen, bewegten sie sich über einen längeren Zeitraum äußerst chaotisch und nicht harmonisch konträr zueinander, so wie es eigentlich sein sollte. Der Grund war, wie nahezu immer, in der unterschiedlichen und nachträglich angepassten impliziten Vola in den jeweiligen Scheinen zu finden, die ihnen den Boden unter den Füßen weggerissen hat.

Aus diesem Grund möchte ich heute zum Wochenausklang auf die sog. Put-Call-Parität eingehen. Mit Hilfe einer simplen Formel kann gezeigt werden, dass es einen zwingenden Zusammenhang zwischen dem Callpreis, Putpreis und dem Preis des Basiswertes gibt. Die jeweiligen Preise können sich also nicht über einen längeren Zeitraum unabhängig voneinander bewegen, sondern sind miteinander verbunden. Dieser Zusammenhang sollte eigentlich auch bei Optionsscheinen gelten, leider lässt er sich hier (aus dem vorher genannten Grund der iV Anpassung) oft nicht vorfinden und beschränkt sich damit vor allem auf den reinen Handel mit Optionen.

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Wie lässt sich diese Put-Call-Parität verstehen und herleiten

Hierzu ein einfaches Beispiel anhand europäischer Optionen, also Optionen, die nur am Laufzeitende ausgeübt werden können. Der Aktienkurs soll 100 EUR betragen. Gleichzeitig beträgt der Preis eines Calls 8 EUR und der Preis eines Puts 2 EUR. Beide Optionen haben den Basispreis 95 EUR und eine Restlaufzeit von drei Monaten (90 Tage) zu einem risikofreien Zinssatz von 1 % für diese Laufzeit.

Dem ein oder anderen wird es vielleicht jetzt schon aufgefallen sein, dass dieses Fallbeispiel eine Arbitragemöglichkeit bietet. Schauen wir uns im Folgenden an, wie diese ausgenutzt werden kann. Durch den Kauf der Put-Option, dem Verkauf der Call-Option und dem Kauf der Aktie an sich, hätte man ein Arbitragegeschäft abgeschlossen und einen risikolosen Gewinn erzielt. Die Konstellation der Optionen führt zu einem Verkauf der Aktie am Laufzeitende, dem der Kauf der Aktie gegenübersteht. Die Gesamtposition ist in sich also geschlossen.

Für den Kauf des Puts und der Aktie müsste man also 2 EUR und 100 EUR bezahlen. Durch den Verkauf, also das Schreiben des Calls, würde man 8 EUR erhalten. Da die Aktien allerdings erst zum Laufzeitende der Optionen zu einem Ausübungspreis von 95 EUR verkauft werden können (da europäisch), muss dieser Verkaufserlös auf den heutigen Barwert abgezinst bzw. diskontiert werden. Bei einem risikolosen Zinssatz von 1 % auf 90 Tage ergibt sich ein Barwert von 94,76 EUR.

Fassen wir also zusammen:

Kauf Put: ...................... -2 EUR
Kauf der Aktie: ............. -100 EUR
Verkauf Call: ................ +8 EUR
Barwert Aktienverkauf: +94,76 EUR

= risikoloser Gewinn: .. +0,76 EUR

Jetzt kommt aber der springende Punkt, der uns zur Put-Call-Parität führt. Diese Arbitragemöglichkeiten sind immer nur von kurzer Dauer. Da die Marktteilnehmer versuchen werden möglichst viele dieser Geschäfte abzuschließen, wird der Preis der Aktie und des Puts steigen, während der Callpreis sinkt bis wir die Put-Call-Parität erreicht haben. Der Zusammenhang zwischen dem Aktienpreis und den Preisen der Optionen muss auf Basis der Barwerte der Ein- und Auszahlungen null ergeben. In einer Formel ausgedrückt bedeutet das:

CallPreis - PutPreis + Basispreis : (1+ risikoloser Zinssatz)^T - Barwert = 0

Es wird also aufgezeigt, dass es einen zwingenden Zusammenhang zwischen dem Callpreis, Putpreis und dem Preis des Basiswertes gibt und sich die Preise nicht (über einen längeren Zeitraum) unabhängig voneinander bewegen können.