Rendite, Risiko und Volatilität - 3 wichtige Stellgrößen

Volatilität (abgeleitet von ital. volare »fliegen; Flatterhaftigkeit, Beweglichkeit«) ist in der Finanzwirtschaft ein "Maß für das (aggregierte) Gesamtrisiko" einer betrachteten Geldanlageform. Das Gesamtrisiko einer Investition besteht hierbei in der möglichen zukünftigen Schwankungsbreite (Streuung, Variabilität) ihrer Zielgröße (Kurs, Preis, Wert, Rendite) um einen erwarteten Mittelwert. Je weiter die Streuung der Zielgröße um den Referenzwert, desto höher wird die Volatilität und umso risikoreicher wird damit die Investition. Umgekehrt gilt: Je enger die Streuung um den Referenzwert dieser Größe, desto höher ist der Grad der Sicherheit des Eintretens eines bestimmten Kurses (Preis, Wert, Rendite etc.) und umso risikoärmer damit die Investition.

[In einem volatilen Markt variieren die Preise nicht unbeträchtlich. Die Volatilität von kurshabenden Wertpapieren (Kursvolatilität) umschreibt demnach die Häufigkeit und Stärke der Ausschläge nach aufwärts oder abwärts. So ist es ein elementarer Erfahrungssachverhalt, dass die Verteilung von Aktien gewöhnlich stärker schwankt als es in regelmäßigen Verhältnissen z.B. bei festverzinslichen Wertpapieren ("Bonds") zu beobachten ist.]

Das hier verwendete Begriffsverständnis von Risiko* schließt eine positive Abweichung von der erwarteten Zielgröße ausdrücklich mit ein. Eine hohe Volatilität geht demzufolge mit einer großen Wertgefahr, aber auch mit einer großen Gewinnchance einher. Gelegentlich findet man im finanzwirtschaftlichen Schrifttum noch ein engeres Begriffsverständnis für das Risiko einer Kapitalüberlassung: Risiko bedeutet dann schlicht und einfach Verlustgefahr ("downside-risk"), für die Möglichkeit der Realisierung eines besseren Wertes als den Erwartungswert wird hingegen eigens der Begriff "Chance" verwandt. Richtet sich das Augenmerk indes auf das marktbezogene Risiko als Teil des Gesamtrisikos eines Investitionsobjekts im Portfoliozusammenhang, so ist der Beta-Faktor die geeignete Maßgröße.

[* Risiko wird hiernach im entscheidungstheoretischen Sinne als Ausdruck für eine idealisierte Erscheinungsform von Unsicherheit verwendet.]

Als Ausgangspunkt zur quantitativen* Erfassung des Risikos einer Geldanlage greift man anstatt auf absolute Kurse üblicherweise auf die Verhältniszahl Rendite (Profitrate, interner Zinsfuß, "rate of return") als die maßgebliche Zielgröße zurück. Die Rendite ist eine Ertragskennzahl, welche in Wirtschaftstheorie und Praxis den am meisten verbreiteten Beurteilungsmaßstab für die Vorteilhaftigkeit einer finanzwirtschaftlichen Maßnahme darstellt. Die realisierte Rendite (vor Steuern) eines untersuchten Investitionsobjekts bemisst sich nach dem finanziellen Ergebnis (Vermögenszuwachs/-minderung), bezogen auf das während einer spezifischen Abrechnungsperiode (regelmäßig ein Jahr) hierfür anfänglich eingesetzte und gebundene Eigen- und/oder Fremdkapital. So besagt eine Rendite von beispielsweise 0,1 (bzw. 10%), dass jede investierte Geldeinheit zum Periodenende 10% über ihren ursprünglichen Wert hinaus verdient hat** (= Kapitalzuwachs).

[* Die qualitative Risikobeurteilung umfasst vor allem die Einstufung in verschiedene Ratingkategorien durch Ratingagenturen.]

[** Der methodische Vorzug relativer Veränderungsraten von Kursen (= Renditen) besteht insbesondere darin, dass ihre Verwendung ein konsistentes Arbeiten mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Zufallsgesetzmäßigkeiten erlaubt und diese dabei zu gefälligen mathematischen Lösungen führen.]

Grundsätzlich wendet man disponible finanzielle Mittel der Reihe nach den lukrativsten Verwendungen zu. Eine zu beurteilende Investition ist für sich allein betrachtet immer dann vorteilhaft, wenn ihre Rendite den zur Finanzierung veranschlagten Zinssatz übersteigt (positiver Kapitalwert). Im Falle der Eigenkapitalfinanzierung wird sich der maßgebliche Zinssatz an der nächstbesten alternativen (entgangenen) Rendite innerhalb der jeweiligen Risikoklasse ausrichten, die deswegen nicht mehr verwirklicht werden (Opportunitätskostenprinzip) kann. Retrospektiv lässt sich die Rendite der Haltezeit (= Ex-post-Rendite, historische Rendite) stets genau ermitteln und beurteilen, für praktische Anlageentscheidungen ist jedoch die zukunftsbezogene, erwartete Rendite (= Ex-ante-Rendite) maßgebend.

Der methodische Ansatz zur rechnerischen Ermittlung der historischen (empirischen) Volatilität einer Kapitalanlage basiert auf der Berechnung der statistischen Standardabweichung (σ; gr.: kl. Sigma) aus einer Zeitreihe von erfolgten Investitionsrenditen. Die Standardabweichung σ ergibt sich ihrerseits aus der positiven Wurzel der Varianz σ2, welche man in der Statistik als zentrales Moment 2. Ordnung, allgemein auch als "Streuung", "Dispersion" oder "mittlere quadratische Abweichung" kennt. Die Standardabweichung σ misst hiernach die durchschnittliche Abweichung der einzelnen beobachteten Investitionsrenditen innerhalb einer bestimmten Periode (Monat, Jahr) von ihrem Mittelwert (μ; gr.: kl. My).

Dieses Prinzip lässt sich vorwärtsschauend auf erwartete (zukunftsbezogene und damit unsichere) Werte übertragen, wenn dabei unterstellt wird, dass vergangene Renditeausprägungen bestimmend ("indikativ") für zukünftige Renditeentwicklungen sind: Die Standardabweichung vom Erwartungswert der Rendite steht dann stellvertretend als Maß für das Risiko der als bekannt vorausgesetzten gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen einer Investition*. Die Volatilität einer Investition liefert damit einen praktikablen Anhaltspunkt dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich ein angestrebtes Kursziel erreichen lässt.

[* Methodologisch zu prüfen wäre, ob es überhaupt zulässig ist, die Unsicherheit über künftige Börsenkurse auf Standardabweichung und Erwartungswert aus einer statistischen Verteilung zu reduzieren.]

Gesetzt den Fall, die Renditeverteilung einer Investition gehorche der Gaußschen Normalverteilung, dann lässt sich das Risiko vollständig beschreiben. Hiernach gilt: Im Bereich [μ – 1σ | μ + 1σ] liegen 68,268% der Renditen, im Bereich [μ – 2σ | μ + 2σ] liegen 95,45% und im Bereich [μ – 3σ | μ + 3σ] liegen 99,73% der Renditen.

[Anmerkung: Statistische Verteilungen beschreiben Zufallsgesetzmäßigkeiten. Bei der Gaußschen Normalverteilung fällt auf, dass die Wahrscheinlichkeit etwa 2/3 dafür beträgt, dass die tatsächliche Rendite innerhalb von +/– einer Standardabweichung vom Erwartungswert liegt und damit jeweils etwa 1/6 dafür, dass sie unterhalb bzw. oberhalb dieses Intervalls liegt. Diese Aussage trifft jedoch nicht zu für eine logarithmierte Normalverteilung wegen ihrer asymmetrischen Gestalt.]

• Beispiel zur Berechnung der Renditen und der Volatilität einer Aktie:

Für die ABCD-Aktie wurden im abgelaufenen Jahr folgende Monatsschlusskurse festgestellt (einschl. Dezember des Vorjahres):

a.) Berechnung der Monatsrenditen der ABCD-Aktie: 1.Schritt:

Bei einer gegebenen Kurssequenz, wie sie hier im Beispielsfall vorliegt, wird zur Berechnung der einzelnen Periodenrenditen einfach der Schlusskurs der jeweiligen Periode (hier: Monate) durch den Schlusskurs des Vorperiode dividiert (mittlere Zeile der folgenden Tabelle "1 + Rendite"). Nach Abzug von 1 und Multiplikation mit 100 erhalten wir dann als Ergebnis die folgenden 12 Monatsrenditen (in Prozent), wie in der letzten Zeile der folgenden Tabelle aufgezeigt:

2.Schritt:

Um bei der Berechnung der Volatilität nicht gegen entscheidungstheoretische Plausibilitätsannahmen zu verstoßen, wird im Schrifttum gefordert, dass dem Investor eine quadratische Bernoulli-Nutzenfunktion zuzuordnen sei und/oder dass die Renditen des Investitionsobjekts normalverteilt sein müssen. Da logarithmierte (stetige) Aktienrenditen im Vergleich mit einfachen (diskreten) Renditen eher als normalverteilt angesehen werden können*, werden in diesem Schritt die Kursverhältnisse aus der Zeile "1 + Rendite" der obigen Tabelle mit dem natürlichen Logarithmus** logarithmiert. Als Ergebnis (wiederum multipliziert mit 100) erhalten wir die Zeitreihe, wie sie der letzten Zeile der folgenden erweiterten Tabelle zu entnehmen ist ("log. Rend.", in Prozent, gerundet auf zwei Nachkommastellen).

[* Die Annahme einer logarithmierten Normalverteilung von Aktienrenditen beachtet, dass der Aktionär niemals mehr Geld verlieren kann als die beim Kauf von Aktien auszulegende Geldsumme. Als günstige Eigenschaft von logarithmierten Renditen tritt hinzu, dass sich mit diesen Größen methodologisch in konsistenter Weise rechnen lässt.]

[** Der natürliche Logarithmus hat als Basis die Konstante e = 2,71828..., dem zugestrebten Grenzwert der Folge (1+1/n) n mit n → ∞.]

3. Schritt:

Nun wird der Durchschnitt (Mittelwert μ) der vorliegenden 12 logarithmierten Renditen berechnet. Der Mittelwert μ einer gegebenen Anzahl beobachteter Vergangenheitsrenditen einer Investition berechnet sich allgemein nach der Formel:

μ = (1/n) · Σ rt ,

mit

n : Anzahl der beobachteten Renditen

rt : Rendite der Betrachtungsperiode t (mit t = 1, ..., n) und

Σ : Summensymbol (gr. Sigma, nach dem achtzehnten Buchstaben des griechischen Alphabets).

Die modifizierte Formel zur Berechnung des logarithmierten Mittelwerts (μln) lautet dann:

μln = (1/n) · [Σ ln(1 + rt)] .

Die Division der Summe der logarithmierten Monatsrenditen durch 12 ergibt in unserem Beispiel also den gesuchten Mittelwert μln:

μln = (7,70 + 4,88 – 1,51 + 4,21 + 1,19 – 6,94 – 4,08 + 3,44 – 3,25 – 3,67 + 4,88 + 6,77) / 12 = 1,135.

Ergebnis: Die durchschnittliche Monatsrendite der ABCD-Aktie beträgt 1,135%.

b.) Berechnung der Varianz σ2 und der Standardabweichung σ der logarithmierten Renditen: 1. Schritt:

Um Aussagen über das (isolierte) Risiko der ABCD-Aktie zu treffen, ist zunächst die Varianz zu berechnen. Zur Ermittlung der Varianz einer Grundgesamtheit von Werten bedient man sich allgemein der folgenden Formel:

σ2 = (1/n) · [Σ (rt – μ)2] ,

wobei die Summe über alle Einzelausprägungen der Grundgesamtheit läuft. Die Varianz σ2 ist demnach definiert als die Summe aus den quadrierten Abweichungen der Einzelausprägungen vom Mittelwert geteilt durch die Anzahl der Einzelausprägungen.

Wird aus einer Stichprobe ein Schätzwert für die Varianz einer Grundgesamtheit gesucht, lehrt die Statistik, dass zum Ausgleich von Stichprobenschätzfehlern der Nenner des Faktors 1/n um 1 zu vermindert ist, um eine weitgehend erwartungstreue Schätzung zu erreichen. Eine solche Anpassung ist insbesondere immer dann vonnöten, wenn – wie hier im Beispiel der ABCD-Aktie – nur einige wenige Beobachtungswerte vorliegen. Wir erhalten also:

σ2 = [1/(n – 1)] · [Σ (rt – μ)2] .

Die Varianz wird unter Verwendung des oben errechneten logarithmierten Mittelwertes von μln = 1,135 bestimmt, indem dieser Wert von den einzelnen logarithmierten Monatsrenditen subtrahiert und anschließend quadriert und aufsummiert wird. Anschließend wird noch durch (n – 1) geteilt. Die modifizierte Formel lautet entsprechend:

σ2 = [1/(n – 1)] · [Σ (ln (1 + rt) – μln)2] .

Die Beispielswerte eingesetzt ergibt folgende Varianz:

σ2 = [(7,70 – 1,135)2 + (4,88 – 1,135)2 + (–1,51 – 1,135)2 + (4,21 – 1,135)2 + (1,19 – 1,135)2 + (–6,94 – 1,135)2 + (–4,08 – 1,135)2 + (3,44 – 1,135)2 + (–3,25 – 1,135)2 + (–3,67 – 1,135)2 + (4,88 – 1,135)2 + (6,77 – 1,135)2] / 11 = 259,39/11 = 23,58.

2. Schritt:

Da die gesuchte historische Volatilität eines Investitionsobjekts in der Standardabweichung σ gemessen wird, ist zu ihrer rechnerischen Ermittlung als nächstes die positive Quadratwurzel aus der oben berechneten Varianz σ2 zu ziehen:

σ = [(1/(n – 1)) · [Σ (ln (1 + rt) – μ)2]]½ , bzw.

σ = √23,58 = 4,856%.

Man beachte, dass die Standardabweichung σ, anders als die Varianz σ2, die gleiche Dimension aufweist wie die zu ihrer Berechnung verwendeten Ursprungswerte, im Beispiel also die Dimension Prozent (%).

Hinweis: Die Berechnung der Standardabweichung (σ) der logarithmierten Renditen einer Aktie kann alternativ zu Schritt 1 und 2 auch nach der Formel:

σ = [∑rln2 / (n–1) – [(∑rln)2 / n · (n–1)]]1/2 erfolgen, wobei rln die logarithmierten Renditen der Aktie bezeichnen.

3. Schritt:

Um Renditen einzelner Investitionen, die über unterschiedlich lange Zeiträume laufen, vergleichbar zu machen, bedient man sich aus Gründen der Zweckmäßigkeit in der Praxis der Annualisierung von Renditen, bei Kreditgeschäften bspw. bekannt unter der Bezeichnung "effektiver Jahreszins". Ähnlich verhält es sich bei der Vergleichbarkeit von Standardabweichungen. Die auf ein Jahr bezogene ("hochgerechnete") Standardabweichung (Jahresvolatilität) ergibt das gesuchte Risikomaß, das in der Finanzierungslehre als Volatilität eines Investitionsobjekts bezeichnet wird. Praktisch werden hierbei zumeist tägliche, auf Schlusskursen beruhende Kursänderungen zugrunde gelegt.

Doch unabhängig davon, ob ursprünglich Tages-, Wochen-, Monats- oder Quartalsrenditen vorlagen, lassen sich diese auf einfache Weise in die intendierte Jahresvolatilität transformieren. Dazu wird die Standardabweichung σ mit der Quadratwurzel aus der Anzahl der Beobachtungszeiträume multipliziert.

Als allgemeine Formel für die annualisierte Standardabweichung (= Volatilität) erhält man demnach:

σann = σ · √n .

[Anmerkung: Die Verwendung der Volatilität als Risikomaß einer Kapitalanlage impliziert, dass das Risiko einer Investition mit zunehmenden Anlagehorizont nicht linear (degressiv) zunimmt.]

Ist die Standardabweichung, wie hier im Beispiel, aus monatlichen Renditen errechnet worden, so hat die Multiplikation der (monatlichen) Standardabweichung σm mit der Wurzel aus 12 zu erfolgen, d.h. σm x √12 = gesuchte historische Volatilität σann der ABCD-Aktie. Die obigen Werte eingesetzt ergibt:

σann = σm · √12 = 4,856% · 3,4641 = 16,8217% = Volatilität der ABCD-Aktie.

(gerundet bis auf 4 Stellen hinter dem Komma)

Die ABCD-Aktie weist eine vergleichsweise geringe Volatilität auf. Sogenannte Blue Chips, also Aktien ersten Ranges, welche z.B. auch im DAX® oder im Dow Jones (DJIA) enthalten sind, haben im langfristigen Durchschnitt je nach Aktie Jahresvolatilitäten zwischen grob 20 und 40%. Demnach lässt sich die hier untersuchte ABCD-Aktie der Kategorie "Defensive Issue" zuordnen. Derartige Aktien zeigen sich überwiegend unbeirrt von allgemeinen Wirtschaftszyklen und gehören meist entweder zu den alteingeführten, stabilen Unternehmungen der Nahrungsmittelbranche oder zu den Versorgungsunternehmungen (sog. "utilities").

Abschließende Anmerkungen: Da das Kalenderjahr aufgrund von Handelspausen an Wochenenden und Feiertagen je nach Land lediglich über ca. 250 Börsenhandelstage verfügt und empirische Befunde darauf hindeuten, dass eher Börsenhandelstage als Kalendertage für die Bestimmung der Volatilität einer Aktie maßgeblich sind, multipliziert man im Falle von Tagesrenditen zur Annualisierung der Standardabweichung mit der Wurzel aus 250, statt aus 365, d.h. σann = σt · √250. Zwecks Erhöhung des Aussagegehaltes sollte man bei der rechnerischen Ermittlung der Volatilität einer Aktie im Falle von Tagesrenditen mindestens 90 Handelstage zugrunde legen, bei Monatsrenditen mindestens 36 Monatsrenditen; denn grundsätzlich steigt die Genauigkeit einer Schätzung mit zunehmender Zahl an in die Berechnung einfließenden Renditen. Da sich indes die Volatilität erfahrungsgemäß im Zeitablauf ändert*, und älteren Renditen oftmals wenig Bedeutung für heute zu treffende Prognosen und Anlageentscheidungen zukommt, können mehr als zirka 180 Renditen mitunter kontraproduktiv wirken.

[* Sog. GARCH-Modelle versuchen in jüngerer Zeit, den zeitlichen Änderungen der Volatilitäten mit verfeinerten mathematisch-statistischen Mitteln Rechnung zu tragen. GARCH ist die Abkürzung für "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticy".]

Wenngleich sich auch Dividenden- und Bezugsrechtserlöse auf einfache Weise in die Berechnung der Volatilität einer Aktie einbeziehen lassen, bleiben Renditen an solchen Tagen praktisch zumeist außer Ansatz. Zurückzuführen ist dies neben anderem auf die unterschiedliche steuerliche Handhabung von Ausschüttungserträgen aus Aktien bei den einzelnen Investoren.

Für andere häufig genutzte Renditezeiträume gilt entsprechend:

σann = σw · √52 bei Wochenrenditen und σann = σq · √4 bei Quartalsrenditen.

Eine 250-Tage-Volatilität, wie sie häufig in der Wirtschaftspresse vorzufinden ist, braucht demnach nicht mehr annualisiert zu werden, da sie der gesuchten Kennzahl "historische Volatilität" σann bereits entspricht.

Zur Erhöhung der Aussagekraft bei der Gegenüberstellung von unterschiedlich riskanten Aktien mit unterschiedlichen erwarteten Renditen greift man häufig auf ein relativiertes Streuungsmaß zurück: den sog. Variationskoeffizienten v. Der Variationskoeffizient v ist definiert als das Verhältnis von Standardabweichung σ zu Erwartungswert der Rendite μ, d.h. v = σ/μ, und beziffert demnach das übernommene Risiko pro Renditeeinheit. Die hier untersuchte ABCD-Aktie weist folglich einen auf einen Monat bezogenen Variationskoeffizienten von 4,856 / 1,135 = 4,278 auf*.

[* Es sei darauf hingewiesen, dass v, anders als seine Bestimmungsgrößen, als dimensionslos zu betrachten ist.]

Der Nachteil indes, der dem Variationskoeffizienten v anhaftet, beruht auf seiner hohen Reagibilität, wenn Tagesrenditen bzw. Renditerealisationen von nur sehr geringer Höhe vorliegen. Dies macht ihn für viele praktische Zwecke nur in begrenztem Maße tauglich.

Autor: Bert H. Deiters

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